The dilation group and dimensionless quantities in classical and relativistic hydrodynamics

Summary We examine from a group theoretical point of view the approach to the study of hydrodynamics given by dimensional analysis. We will study the action of the dilation group: it transforms a hydrodynamical problem into a “similar” one i.e. into a problem differring by the choice of the units. We want to find and relate to group properties the quantities whose constancy is sufficient to guarantee the similiarity of two problems. We introduce the concept of commensurable problems and we find that the dimensionless quantities which are commonly used in hydrodynamics (such as the Reynolds number e.g.) when restricted to this subclass of problems are sufficient to label the orbits of the dilation group i.e. the sets of the similar problems. The relativistic version of this analysis and some other extensions will be also considered.

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Sommario Si studia da un punto di vista gruppale l'approccio che l'analisi dimensionale fornisce allo studio della idrodinamica. Verrà esaminata l'azione del gruppo delle dilatazioni: esso trasforma un problema idrodinamico in uno “simile”, in uno cioè che differisce per la scelta delle unità. Verranno indicate e collegate a proprietà gruppali quelle grandezze la cui costanza è sufficiente ad assicurare che due problemi siano simili. Dopo aver introdotto il concetto di problemi commensurabili, troviamo che quelle quantità adimensionali, come il numero di Reynolds per esempio, che si usano normalmente in idrodinamica sono sufficienti a caratterizzare le orbite per il gruppo delle dilatazioni, cioè gli insiemi dei problemi simili, quando ristrette alla sottoclasse dei problemi commensurabili. Si considerano anche la versione relativistica ed alcune altre estensioni di questa analisi.