An approximate solution for planar solidification with Newton cooling at the surface

Summary The classical moving boundary problem for the planar freezing of a semi-infinite saturated liquid with Newton cooling at the wall is well known not to admit an exact solution. Existing perturbation solutions are valid only when the Stefan number is large. Further, since the implementation of the Newton cooling condition involves the step size, numerical solutions are only accurate if extremely small sizes are taken which involves large computing times. Here two new approximate analytic solutions are obtained, the first is an initial or starting solution while the second is valid for subsequent times. In the limit of large Stefan number the pseudo-steady state and first order corrected motions arise from both approximations. Further, in the limit of no Newton cooling at the wall the large time solution gives rise to precisely the well known Stefan or Neumann solution. The validity of the approximations is illustrated numerically with reference to previous work and known upper and lower bounds.

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Zusammenfassung Das klassische Problem der Bestimmung der variablen Grenze beim Gefrieren eines halbunendlich gesättigten Fluids mit Newton-Kühlung an der Wand besitzt bekanntlich keine geschlossene Lösung. Näherungslösungen sind nur für große Stefan-Zahlen bekannt. Bei Newton Kühlung erfordern die gängigen numerischen Methoden eine Schrittweite, die so klein ist, daß genaue Resultate große Rechenzeiten erfordern. Hier werden zwei Näherungslösungen konstruiert, die eine für kleine und die andere für große Zeiten. Im Fall einer großen Stefan-Zahl erhalten wir mit beiden Lösungen einen pseudostationären Zustand mit Korrekturen erster Ordnung. Der Grenzfall der verschwindenden Newton-Kühlung ergibt genau die bekannte Stefan-oder Neumann-Lösung. Im allgemeinen Fall wird die Gültigkeit der Näherung durch Vergleich mit Resultaten früherer Arbeiten sowie mit bekannten oberen und unteren Schranken verifiziert.