A class of inequalities for non-negative sequences

В работе для неотрица тельных последовате льностей (...,a _?1 ⁱ ), aa ₀ ⁱ ),a ₁ ⁱ ), ...), удовлетв оряющих условию (0< mathop {sup }limits_k a_k^{(i)}< infty) (i=1,...,т), доказ а но неравенство (1) $$begin{gathered} mathop sum limits_{k = - infty }^infty mathop {sup }limits_{k leqq k_1 + ldots + k_m leqq k + l} (a_{k_1 }^{(1)} ldots a_{k_m }^{(m)} ) geqq hfill geqq mathop prod limits_{i = 1}^m (mathop {sup }limits_{ - infty< k< infty } a_k^{(i)} )left[ {mathop sum limits_{i = 1}^m frac{{mathop sum limits_{k = - infty }^infty (a_k^{(i)} )^{p_i } }}{{(mathop {sup }limits_{ - infty< k< infty } a_k^{(i)} )^{p_i } }} + l - m + 1} right], hfill end{gathered}$$ гдеl произвольное не отрицательное целое число, 1≦p ₁, ...,p _m ≦∞ и (mathop sum limits_{i = 1}^m p_i^{ - 1} = 1) . Это неравенство явля ется обобщением и уто чнением неравенств А. Прекопа, Ш. Данча и Л. Лейндлера. Доказано также, что ес ли все последователь ности содержат только коне чное число ненулевых членов, то н еобходимым условием для равенства в (1) является существование такого числа α>0, чтоa _k( ⁱ )=а илиa _k( ⁱ )=0 для всехi=1,...,m;?∞<k<∞.