数学归纳法的理论依据

我们在中学教数学归纳法时,经常碰到一些勤于思考的学生提出:“数学归纳法的理论依据是什么?”这个问题在“高等代数”中早有论述,为着爱护同学们的探索精神和求知欲望,我们以课外活动形式,作出简要的回答。一、自然数集的基本性质与皮亚诺公理。 1962年华罗庚教授在一次讲话中说:“简单朴素的数的性质,成为数学概念和方法的一个重要源泉。”数学归纳法是用来证明某些与自然数n有关的数学命题P(n)的重要方法,它的理论依据就必定与自然数的基本性质有关。 1889年意大利数学家皮亚诺创立了五条自然数系公理,揭示出自然数集Ⅳ的基本性质。 (1)1∈N。 (2)若a∈N,则有且仅有一个自然数紧跟在a后面,记为a+1。 (3)若a∈N,则A+1≠1。 (4)设x∈N,y∈N,当x+1=y+1时,x=y。