Local theory of almost split sequences for comodules

We show that almost split sequences in the category of comodules over a coalgebraΓ with finite-dimensional right-hand term are direct limits of almost split sequences over finite dimensional subcoalgebras. In previous work we showed that such almost split sequences exist if the right hand term has a quasifinitely copresented linear dual. Conversely, taking limits of almost split sequences over finte-dimensional comodule categories, we then show that, for countable-dimensional coalgebras, certain exact sequences exist which satisfy a condition weaker than being almost split, which we call “finitely almost split”. Under additional assumptions, these sequences are shown to be almost split in the appropriate category.

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Sunto Dimostriamo che le successioni che quasi spezzano nella categoria dei comoduli su una coalgebra Γ con termine di destra di dimensione finita sono limiti diretti di successioni che quasi spezzano su sottoalgebre di dimensione finita. In un lavoro precedente abbiamo dimostrato che tali successioni che quasi spezzano esistono se il termine di destra ha un duale lineare quasi-finitamente copresentato. Viceversa, prendendo il limite delle successioni che quasi spezzano su categorie di comoduli di dimensione finita, dimostriamo che, per coalgebre di dimensione numerabile, esistono alcune successioni esatte che soddisfano una condizione più debole di essere quasi spezzanti, che noi chiamiamo “finitamente quasi spezzanti”. Sotto ipotesi aggiuntive, si dimostra che queste successioni quasi spezzano nelle opportune categorie.