Going-down pairs of commutative rings

Résumé  D'après D. E. Dobbs, Houston J. Math. 23 (1997), 1–11, nous disons que l'anneau (commutatif)A est un anneau-“going-down” siA/P est un domaine-“going-down” pour chaque idéal premier deA. Etant donné une extension,R⊆T, nous disons que (R, T) est une paire d'anneaux-“going-down” (respectivement, une paire “going-down”) siS est un anneau-“going-down” pour chaque anneau tels queR⊆S⊆T (resp., si “going-down” est satisfait par chaque extension d'anneauxA⊆B tels queR⊆A⊆B⊆T). On montre que siR est un anneau de la dimension 0 (au sens de Krull), alors (R, T) est une paire d'anneaux-“going-down” si et seulement sitr.deg. _R/(P∩R) T/P≤1 pour chaque idéal premier minimalP deT. Des résultats partiels sont obtenus quandR n'est pas de dimension 0. En outre, si (R, T) est une paire d'anneaux-“going-down” tel queT ait un seul idéal premier minimal, alors (R, T) est une paire “going-down”. Des résultats dans l'esprit ci-dessus sont également obtenus pour quelques autres types de paires.

---

---

This paper is taken from the author's doctoral dissertation of May 2000, written under the direction of Professor David E. Dobbs of the University of Tennessee, Knoxville.