lim(1 1/n)~n(n→ ∞)存在性的一种证法

本文通过构造不等式 ,并利用极限存在准则证明重要极限 limn→ ∞ (1 1n) n 存在性 .引理 :单调有界数列必有极限 .下面证明数列 { (1 1n) n}的单调性及有界性 .设 a>b>0 ,则对任一自然数 n有an 1-bn 1=(a -b) (an an- 1b an- 2 b2 … abn- 1 bn) <(a -b) (n 1 ) an整理后得到不等式bn 1>an(n 1 ) b -na](1 )　　第一步 ,令 b=1 1n 1 ,a=1 1n,则有(n 1 ) b -na =(n 1 ) (1 1n 1 ) -n(1 1n) =1将它们代入 (1 )中可得　 (1 1n 1 ) n 1>(1 1n) n.这说明数列 { (1 1n) n}是递增数列 .第二步 ,令 b=1…