“射影定理”逆命题的几种证明

<正>在学习相似三角形时会遇到射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项.现研究探讨它的一个逆命题,其结论有趣、证明方法都很有代表性,为了说明方便,我们以问题的形式呈现.问题如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90○,点P在斜边AB上,且PC²=AP·PB.请你猜想点P在AB上的具体位置,并对猜想予以证明.