On some local properties of the sum of lacunary trigonometric series

В статье изучается по ведение суммы лакуна рного тригонометрическог о ряда при приближени и к некоторой фиксиров анной произвольной т очке. Первая половина рабо ты посвящена изложен ию метода исследования локаль ных свойств суммы лакунарного ря да, разработанного ав тором. Вторая половина рабо ты посвящена приложе ниям этого метода. Здесь в частно сти, получаются необходи мые и достаточные усл овия для интегрируемости сум мы лакунарного ряда с весом при широк их условиях на вес. При ведем соответствующий рез ультат. Пусть?р(x) — сумма ряда (a + sumlimits_{n = 1}^infty {a_n cos (lambda _n x + psi _n )} ) , гдеа, а _n ,λ _n ,ψ _n — действительные числа,εa _n ^/2 <∞,a _n ≧0,λ _n >0 приn≧1 и (mathop {inf }limits_{n geqq 1} lambda _{n + 1} /lambda _n > 1) . При этих условиях функция?(х) определена почти всю ду. Пустьр>0 иω(х) — положительная неуб ывающая функция, определенная при все хх>0, которая при некот оромC>0 удовлетворяет услов ию:ω(2x)≦ ≦Cω(х) при всехх>0. Тогда имеет место Теорема. Для того, чтоб ы интеграл (intlimits_{ + 0} {|varphi (x)|^p frac{{dx}}{{omega (x)}}} ) сходился, необходимо и достато чно, чтобы сходились все р яды $$begin{gathered} sumlimits_{n = 1}^infty {D_n (sumlimits_{k = n}^infty {a_k^2 } )^{p/2} ,} sumlimits_{n = 2}^infty {D_n |a_n + sumlimits_{k = 1}^{n - 1} {a_k cos } psi _k |^p ,} hfill sumlimits_{n = 2}^infty {D_n (pj)|sumlimits_{k = 1}^{n - 1} {a_k lambda _k^j cos (psi _k + pi j/2)} |^p ,} j = 1,2,..., hfill end{gathered} $$ , где $$D_n = intlimits_{I_n } {frac{{dx}}{{omega (x)}},} D_n (pj) = intlimits_{I_n } {frac{{x^{pj} dx}}{{omega (x)}},} a I_n = [pi lambda _n^{ - 1} ,pi lambda _{n - 1}^{ - 1} ]$$