On a characteristic of random matrices connected with unconditional convergence almost everywhere

В статье рассматрива ются множестваM _N , 1≦N<∞ всех систем функций Φ={?(x)} _j ^=1/N , заданных на [0,1] с где (ε _{i, j} ) _{i, j} ^=1/N — матрица с э лементами ± 1. Изучаетс я поведение наМ _N функц ии $$alpha _N (Phi ) = mathop {sup }limits_sigma mathop {sup }limits_{sum a_j^2 = 1} (intlimits_0^1 {mathop {sup }limits_{1 leqq k leqq N} (sumlimits_{j = 1}^k {a_j varphi _{sigma (j)} (x)} } )^2 dx)^{1/2} $$ гдеσ: {1, ...,N}?{1, ...,N}. Дока зьгаается, что сущест вуют абсолютные постоянн ыеc ₃,c ₄>0,y ₀>1, такие, что для любог оN=1,2, ... иy>y ₀ $$mu _N ({ Phi in {rm M}_{rm N} :alpha _N (Phi )/left| Phi right| > y} ) leqq c_3 exp [ - exp (c_4 y)N]$$ гдеμ _N — мера наM _N с µ _N ({Ф}) = 2^?N2 дл я любой системыΦ∈M