On the stability of solutions under recursive programming

Summary Recursive linear programming is defined by a sequence of linear programming problems in which a recursive relation is built into the system through either the coefficients of the objective function, the constraint matrix, or the right-hand side parameters. Here we consider the case where the right-hand side parameters are subject to a recursive time relation indicating how current period plans are related to past expectations and performance. Our object here is twofold: first, to analyze the stability properties of a linear recursive programming (LRP) model and second, to indicate some basic extensions of the LRP in the light of what is generally called the active approach of stochastic linear programming (SLP). Some simple theorems are developed in this connection and this is followed by a brief discussion of the possible lines of empirical applications.

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Zusammenfassung Rekursives lineares Programmieren wird als eine Aufeinanderfolge von linearen Programmproblemen definiert, bei denen eine rekursive Beziehung in das System eingebaut ist, und zwar entweder über die Koeffizienten der Zielfunktion, die Matrix der Beschränkungen oder die Parameter der rechten Seite. Wir betrachten hier den Fall, bei dem die Parameter der rechten Seite einer rekursiven Zeitrelation unterliegen, die den Zusammenhang zwischen den Plänen der gegenwärtigen Periode und früheren Erwartungen sowie deren Erfüllung angibt. Wir verfolgen zwei Ziele: Erstens wollen wir die Stabilitätseigenschaften eines linearen rekursiven Programm (LRP)-Modells analysieren, und zweitens wollen wir gewisse grundlegende Erweiterungen des LRP im Hinblick auf das sogenannte aktive Verhalten beim stochastischen Linearen Programmieren (SLP) angeben. Damit zusammenhängend werden einige einfache Theoreme entwickelt und eine kurze Diskussion der möglichen Richtungen empirischer Anwendungen angeschlossen.

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This work forms a part of a research project started originally at Iowa State University under the U.S. National Science Foundation Project NR 420-04-70 and continued presently by the authors. Some of the theoretical aspects closely related to this paper may be found in the following references: Sengupta, J. K., G. Tintner andC. Millham: On some theorems of stochastic linear programming with applications. Management Science, Vol. 10, October 1963, pp. 143–159. Sengupta, J. K., G. Tintner andB. Morrison: Stochastic linear programming with applications to economic models. Economica, August 1963, pp. 262–276. Sengupta, J. K.: Recursive constraints and stochastic linear programming. Accepted for publication Metrika. Sengupta, J. K., C. Millham andG. Tintner: On the stability of solutions under error in stochastic linear programming. Metrika No. 3, 1964. Sengupta, J. K. andT. Kumar: An application of sensitivity analysis to a linear programming problem. Unternehmungsforschung, Vol. 9, 1965, pp. 18–36. Sengupta, J. K.: On the stability of truncated solutions of stochastic linear programming. Mimeographed, December 20, 1963. Department of Economics, Iowa State University. (Sent for publication.) Sengupta, J. K., G. Tintner andC. Millham: A weak duality theorem for stochastic linear programming. Unternehmensforschung, Vol. 7, 1963, pp. 1–8.