连续函数之集在上半连续函数之集中的一种拓扑位置

设$(X,\rho)$是一个度量空间. 用$\dd {\rm USCC}(X)$和$\dd {\rm CC}(X)$ 分别表示从$X$ 到 $\I=0,1]$的紧支撑的上半连续函数和紧支撑的连续函数下方图形全体. 赋予 Hausdorff 度量后, 它们是拓扑空间. 文中证明了, 如果 $X$ 是一个无限的且孤立点集稠密的紧度量空间, 则 $(\dd {\rm USCC}(X),\dd {\rm CC}(X))\approx(Q,c_0\cup (Q\setminus \Sigma))$, 即存在一个同胚 $h:~\dd {\rm USCC}(X)\to Q$, 使得 $h(\dd {\rm CC}(X))=c_0\cup (Q\setminus \Sigma)$, 这里 $Q=-1,1]^{\omega},\,\Sigma=\{(x_n)_{n}\in Q: {\rm sup}|x_n|<1\},\, c_0=\Big\{(x_n)_{n}\in \Sigma: \lim\limits_{n\to +\infty}x_n=0\Big\}.$ 结合这个论断和另一篇文章的结果, 可以得到: 如果 $X$ 是一个无限的紧度量空间, 则 $(\uscc(X), \cc(X))\approx \left\{ \begin{array}{ll} (Q,c_0\cup (Q\setminus \Sigma)), &;\quad \text{如 果 孤 立 点 集 在} X \text{中稠密},\\ (Q, c_0), &;\quad \text{ 其他}. \end{array} \right.$ 还证明了, 对一个度量空间$X$, $(\dd {\rm USCC}(X),\dd {\rm CC}(X))\approx (\Sigma,c_0)$ 当且仅当 $X$是一个非紧的、局部紧的、非离散的可分空间.