On the central limit theorem for lacunary trigonometric series

Хорошо известно, что в ероятностное поведе ние лакунарного тригоно метрического ряда {cos 2πn _kx} тесно связ ано с «критическим» у словием лакунарности (*) $$frac{{n_{k + 1} }}{{n_k }} geqq 1 + frac{{c_k }}{{sqrt k }},c_k to infty $$ . Например, если выполн ено условие (*), то последовательность {cos2πn _kx} удовлетворяет центральной предель ной теореме, и при этом условие (*) не может быть ослабле но. Для последовательносте й, удовлетворяющих (*), и звестны и другие результаты по добного рода, в то время как для более медленно расту щих последовательносте й {n_k} не известно, по-видимому, ничего. В с татье развит метод, ко торый при помощи мартингально й техники позволяет проводить исследование систем {cos 2πn_kx} для последовательно стей, не удовлетворяю щих условию (*). Получено про стое объяснение условия (*), изучено, как «пропа-дает» центральная предель ная теорема при посте пенном ослаблении условия (*) и дока-заны некоторые центральн ые предельные теорем ы в отсутствие этого усл овия. Получены другие предельные те оремы для {cos 2πn_kx}, напри мер, закон повторного лог арифма и принципы инвариантн ости.