Nonlinear Fourier analysis of localized wave fields

Summary The Fourier transform (FT) has long served as an indispensable means for analysing wave motion described by linear evlution equations. The methods are well known and include not only mathematical analysis but also the analysis of data as well. In recent years new spectral methods have been developed for analysing nonlinear evolution equations. Such methods are generalizations of the FT to specific nonlinear wave systems and are referred to as the spectral or scattering transform (ST). Herein we use numerical procedures for applying the ST directly to the analysis of localized data described by the Kortewegde Vries (KdV) equation on the infinite interval,i.e. the Cauchy problem in shallow water. In this context we emphasize the importance of the direct spectral transform (DST) as a wave number domain representation of nonlinear data. The numerical methods discussed for the KdV equation should be extendible to the large class of systems considered by Ablowitzet al., Calogero and Degasperis. We give examples of the spectral analysis of nonlinear, computer-generated data.

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Riassunto La ben nota trasformata di Fourier (FT) è di uso commune per analizzare moti ondosi descritti da equazioni di evoluzione lineari. Negli ultimi anni sono stati sviluppati nouvi metodi (detti trasformate spettrali o di scattering, ST) per l'analisi di equazioni di evoluzione non lineari basati sulla generalizzazione della FT agli specifici sistemi ondosi non lineari. Qui usiamo procedimenti numerici per applicare la ST direttamente all'analisi di dati localizzati descritti dall'equazione di Korteweg-deVries nell'intervallo infinito, cioè al problema di Cauchy in acqua bassa. In questo contesto sottolineiamo l'importanza della trasformata specttrale diretta come rappresentazione nel campo dei numeri d'onda di dati non lineari. I metodi numerici discussi, che a titolo di esempio sono qui applicati all'analisi spettrale di dati non lineari generati dal calcolatore, hanno l'interessante possibilità di essere estendibili ai problemi piú generali di propagazione ondosa.