让“冰冷美丽”绽放出“火热思考”

荷兰著名数学家弗兰登塔尔曾说:“从来没有一种数学的思想会像当初被发现时那样付诸文字,一旦问题解决了,思考的程序便颠倒过来,把火热的思考变成冰冷的美丽”.纵观2009年上海春季高考数学试题,我们从中可以体会到强烈的新课程理念,既让人感到试题的“美丽和谐”,又富有新颖与创新.尤其是最后一道押轴题,它既考查了函数的单调性、最值、三角恒等变换等传统的基础知识,又很好地考查了新课程中学习研究能力和推理论证能力.本文试图通过对2009年上海春季高考试题最后一题的思考,谈谈个人的感悟和想法.原题设函数fn(θ)=sinnθ+(-1)ncosnθ,0≤θ≤π4,其中n为正整数.(1)判断函数f1(θ)、f3(θ)的单调性,并就f1(θ)的情形证明你的结论;(2)证明:2f6(θ)-f4(θ)=(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ);(3)对于任意给定的正整数n,求函数fn(θ)的最大值和最小值.1审视设问,确定思维方向原题的前两问都不难解决,在解决第三问遇到的第一道障碍就是(-1)n,其应对的方法应是对n进行奇偶分析,从而使得将复杂的问题简单化.再观察题目的问题设置,可以看到第一问n是奇数时的特殊情形,第二问n...