Dimension de Krull,Nullstellensätze et évaluation dynamique

Résumé. Nous démontrons un Nullstellensatz qui établit une équivalence entre l'existence d'une identité algébrique d'un certain type, d'une part, et l'impossibilité de trouver une suite croissante de variétés irréductibles répondant à certaines contraintes d'autre part. De ce point de vue le Nullstellensatz usuel correspond au cas des variétés réduites à un point. Nous établissons aussi un Nullstellensatz formel du même type, en relation avec les suites croissantes d'idéaux premiers. Un cas particulier important est donné par la notion de suite pseudo régulière, plus générale que la notion de suite régulière. Nous obtenons de cette manière une nouvelle caractérisation de la dimension de Krull d'un anneau : un anneau a une dimension de Krull si et seulement si il existe une suite pseudo régulière de longueur dans l'anneau. Dans les cas où ces résultats peuvent avoir une signification constructive précise, nos preuves y aboutissent constructivement. Nous pensons avoir donné ainsi quelques éléments en vue d'une interprétation constructive de la théorie de la dimension de Krull des anneaux commutatifs. Notre méthode utilise la notion de structure algébrique dynamique introduite dans des articles précédents. Received: 4 October 1999; in final form: 11 October 2000 / Published online: 25 June 2001