广义凸函数的简单性质

设xi>0,pi>0(i=1,2,…,n),规定Mrn(xi,pi)=∑ni=1pi.xi∑ni=1pi1r,0<|r|< ∞时,∏ni=1xipi1∑ni=1pi,r=0时.设正值连续函数f(x)定义在区间IR 上,如果对于任意x1、x2∈I和p1>0,p2>0,有　　Mr2f(xi),pi]≥fMr2(xi,pi)],(1)或　p1p1 p2.fr(x1) p2p1 p2.fr(x2)]1r　≥f(p1p1 p2.xr1 p2p1 p2.xr2)1r],当r≠0时,　(2)或　fp1(x1).fp2(x2)]1p1 p2　≥fxp11.xp22)1p1 p2],当r=0时,(3)则说f(x)在区间I上是广义下凸的.如果(1)式中等式当且仅当x1=x2时成立,则说f(x)在I上为广义严格下凸的.如果(1)(或(2)与(3)式中不等号反向,则说f(x)在I上为…