第九届全俄数学竞赛第四轮试题解答

八年级 1.100个实数的和等于0,证明:能够将它们编号后,满足下面不等式组: a_1≥0,a_1+a_2≥0,…,a_1+a_2+…+a_(99)≥0。解我们可以证明更一般的问题:若n个实数c_1,c_2,…,c_n的和为非负,则能够将其重新编号,满足不等式组: c_1≥0.c_1+c_2≥0,…,c_1+c_2+…+c_(n-1)≥0。为此先来证明:若实数x_1,x_2,…,x_m的和为非负(S=x_1+x_2+…+x_m≥0),则总能从中划去一个数,使得余下的(m-1)个数的和为非负。反之,若对所有的i=1.2.…,m,都有S-x_i<0,于是(s-x_1)+(s-x_2)+…+(s-x_m)<0,也就是(m-1)s<0,矛盾。这就是说,对于c_1+c_2+…+c_n≥0,总可从中划