综合题新编选登

题194已知双曲线c:x2a2-by22=1(a>0,b>0),F1,F2为其左、右焦点,P为c上任一点,双曲线c在点P处的切线l与两渐近线分别交于S,T.1)求△SOT的外接圆圆心的轨迹方程;2)求证:OS·OT为定值;3)求证:F1,S,F2,T四点共圆.图1题194图解设p(x0,y0),则有:b2x02-a2y02=a2b2.l的方程为:x0xa2-yb02y=1.联系方程:y=abx,x0xa2-yb02y=1.可解得S点的坐标为(bx0a-2bay0,bx0a-b2ay0).同理可求得T点的坐标为(bx0a 2bay0,-bx0a b2ay0).1)设△SOT的外接圆圆心O′的坐标为(x,y),则有|O′O|=|O′S|=|O′T|,即x2 y2=(x-bx0a-2bay0)2 (y-bx0a-b2ay0)2=(x-bx0a 2…