The shape of a planet in hydrostatic equilibrium. An application to the Earth

Summary A new technique for computing gravitational equilibrium surfaces (considering gravitational and rotational potential) as a function of depth is presented here for a hydrostatic planet,i.e. a planet where rigidity is neglected. This work was formerly approached by Clairaut, and more recently by Lanzano; in this paper a new technique is developed that solves the problem without making use of the Clairaut differential equation. It is possible to define the gravitational potential of a planet by dividing it intoN shells, each of constant density, with a greater accuracy than in previous works; we can compute the equilibrium surface of each shell with an iterative technique,i.e. by modifying the solution by little steps until the desired accuracy is obtained. In the case of the Earth the geoid is found to be flatter than this ideal surface (this had already been observed also by means of completely different methods, for example by investigating the precession of the Earth). A possible reason for such a discrepancy is that it is too great an approximation to consider the Earth's density as being a function only of the depth.

---

Riassunto Si presenta in questo lavoro una tecnica di calcolo per le superfici di equilibrio gravitazionale (considerando sia il potenziale gravitazionale che quello di rotazione) alle varie profondità per un pianeta considerato fluido, cioè privo di rigidità. Il calcolo è stato già affrontato in passato da Clairaut e poi piú recentemente da Lanzano, ma in questo lavoro si sviluppa una tecnica nuova che non risolve numericamente l'equazione differenziale di Clairaut. Si definisce il potenziale gravitazionale di un pianeta pensato con un numeroN di gusci ognuno di densità costante, con una migliore precisione che nei lavori precedenti; si esegue il calcolo delle superfici di equilibrio con una tecnica iterativa, cioè che corregge la soluzione a piccoli passi fino alla precisione desiderata. Il risultato per il caso della Terra mostra che il geoide è piú schiacciato di questa superficie ideale (questo fatto era già stato osservato anche con metodi completamente diversi, ad esempio osservando la precessione della Terra). Una possobile spiegazione per tale discrepanza è che è troppo approssimativo considerare la densità della Terra dipendente solo dalla profondità.

---

Резюме Предлагается новая техника дла рачета поверхности гравитационного равновесия (рассматривая гравитационный и ротационный потениалы) в зависимости от глубины для гидростатической планеты, те. пренебрегая упругостьй планеты. Аналогичная задача рассматривалась Клэро и недавно Ландзано, но в этой статье развивается новая техника, которая позволяет решить проблему без использования дифференциального уравнения Клэро. Гравитационный потенциал планеты определяется с большей точностью, чем в предыдущих работах, разбивая планету наN оболочек с постоянными плотностями. Затем мы можем вычислить равновесную поверхность каждой оболочки, используя метод итераций. В случае Земли получается, что геоид представляет более сплющенную форму, чем идеальная поверхность (этот результат отмечался ранее с помощью других методов, например, при исследовании прецессии Земли). Возможное объяснение этого различия, повидимому, связано с тем, что плотность Земли приближенно рассматривается как функция только глубины.