Chaotic solutions of systems with almost periodic forcing

Summary In a recent paper [J. Diff. Equat. 55 (2) (1984), 225–256], J. Palmer proved Smale's theorem on the embedding of the Bernoulli shift in the context of a periodic differential system (^*) =f (t, x),xⁿ, using a nonautonomous shadow lemma. By means of this lemma, we show that one does get a similar kind of chaotic motion whenf is almost periodic int. Actually, we do not consider the equation (^*). In order to show that the hypotheses can be satisfied, we rather consider a parameter-dependent equation of the formx=g(x)+h(t,x,), whereIR is the parameter.

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Zusammenfassung In einer kürzlich erschienenen Arbeit [J. Diff. Equat. 55 (2) (1984), 225–256] bewies J. Palmer den Satz von Smale über die Einbettung des Bernoullischifts für periodische Differentialgleichungssysteme der Form (^*) =f (t, x),xⁿ, unter Verwendung eines Schattenlemmas für nicht-autonome Systeme. Mit Hilfe dieses Lemmas zeigen wir, daß man eine ähnliche chaotische Bewegung erhält, wennf fast-periodisch int ist. Genau genommen betrachten wir nicht die Gleichung (^*). Um zu zeigen, daß die Voraussetzungen erfüllt werden können, betrachten wir vielmehr eine parameterabhängige Gleichung der Form =g(x)+h(t,x,), wobeiIR der Parameter ist.