楊輝三角形的推广

笔者偶然翻阅一本英文书《数学发现》第1卷(G.Polya著,Mathematical discovery,vol.1;1962),看到书中提起三项式系数和莱布尼茲的调和三角形,两者性质均与杨辉三角形十分类似。从三项式系数使我们想到可以进一步推广到四项式系数、五项式系数等等。由于它们本身还可能有一些实用价值,所以笔者结合个人体会,将它们作一简单介绍。有关事实都不难推证,所以多半述而不证。 (一) 三项式系数杨辉三角形可以由如下两条规则完全确定(参考图1): 1.边界条件:每一行开始和结尾的数都是1。 2.递推法则:内部的每个数都等于肩上的两个数的和。杨辉三角形第n+1行的各数顺次等于(1+x)~n展开式按升冪或降冪排列时各项的系数。