关于r_a、r_b、r_c的若干不等式

在△ABC中,设a、b、c为其三边;p=1/2(a b c);r_a、r_b、r_c为其三个旁切圆的半径;r、R分别为其内切圆、外接圆半径;t_a、t_b、t_c为其三条内角平分线;h_a、h_b、h_c分别为其三边上的高;△为其面积。本文证明了关于r_a、r_b、r_c的下述不等式(为节省篇幅,以下命题只写结论)。 1°9r≤3~(1/2)p≤r_a r_b r_c≤(9/2)R (1) 证易证r_a r_b r_c=4R r,以及r_ar_b r_br_c r_cr_a=p~2,由欧拉不等式R≥2r,得右边不等式。另方面,由代数不等式χ y z≥(3(χy yz zχ))~(1/2)及不等式p≥3(3~(1/2))r得r_a r_b r_c≥3~(1/2)p≥9r ∴ (1)式成立 2°27r~3≤r_ar_br_c≤(3~(1/2))/9p~3≤(27/8)R~3 (2) 证易证r_ar_br_c=rp~2,p≥3 3~(1/2)r,得r_ar_br_c≥27r~3另方面。r_ar_br_c=(r_ar_b·r_br_c·r_cr_a)~(1/2)≤