常系数线性方程组的一种新解法 |
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引用本文: | 赵临龙. 常系数线性方程组的一种新解法[J]. 数学的实践与认识, 2014, 0(14) |
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作者姓名: | 赵临龙 |
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作者单位: | 安康学院数学与应用数学研究所; |
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基金项目: | 国家自然科学基金(6115203);湖南省教育厅科学研究项目(13C007);陕西省特色专业建设项目(2011-59);安康学院重点学科建设项目(ZDXKZX12) |
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摘 要: | 对于常系数线性微分方程组:dx/dt=Ax(A是n阶实常数矩阵)通过特征根λ和对应的特征行向量K:K~T(A-λE)=0将微分方程组化为线性方程组:1°当有n个互异的特征根λ_1,λ_2,…,λ_n,对应的线性无关的特征行向量为K_1,K_2,…,K_n,若记K_i=(k_1,k_2,…,k_n)(i=1,2,…,n),则有方程组:(n∑i=1 k_ix_i)′=λ_j(n∑i=1 k_ix_I)(j=1,2,…,n);2°当有不同的特征根λ_1,λ_2,…,λ_m其重数分别为n_1,n_2,…,n_m,n_1+n_2+…+n_m=n,对应的线性无关的特征行向量为K_i=(k_1,K_2,…,k_n)(i=1,2,…,m),则有方程组:(n∑i=1 k_rx_r)′=λ_k(n∑i=1 k_rx_r)((A-λ_jE)x_(n_i)=0;i=1),(n∑i=1 k_rx_r)′=λ_j(n∑i=1k_rx_r)+c_(n_i)e~(λ_jt)((A-λ_kE)x_(i-1)=Ex_i,i=2,…,n_i).
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关 键 词: | 常微分方程组 一阶线性方程 线性方程 矩阵 |
A New Method for Solving Linear Equations with Constant Coefficients |
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Abstract: | For linear differential equations with constant coefficients:(dx)/(dt)=Ax(A is the real constant matrix) The eigenvalue of λ and corresponding characteristic vector K:K~T(AXE)=0,the differential equations into linear equations:1° when there are n different characteristic rootsλ_1,λ_2,…,λ_n,feature vector corresponding to the linear independence is K_1,K_2,…,K_n,if K_i=(k_1,k_2,…,k_n)(i=1,2,…,n),there are equations:(n∑i=1 k_ix_i)' =λ_j(n∑i=1 k_ix_i)(j =1,2,…,n);2° degrees when the characteristic roots of λ_1,λ_2,…,λ_mdifferent,the number of n_1,n_2,…,n_m,n_1+n_2+…+n_m=n respectively,and the feature vector corresponding to the linear independence of K_i=(k_1,k_2,…,k_n)(i=1,2,…,m),there are equations:(n∑i=1 k_rx_r)' =λ_j(n∑i=1 k_rx_r)((A-λ_jE)x_(n_i)=0;i=1),(n∑i=1 k_rx_r)'=λ_j(n∑i=1 K_rx_r)+C_(n_ie~(λ_j~t)((A-λ_jE)x_i-1)=Ex_i,i=2,…,n_i). |
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Keywords: | ordinary differential equations linear differential equation of first order linear equation matrix |
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