基于数学期望的非紧致保正性数值格式

常用的有限差分法、有限元方法和有限体积法等在数值求解偏微分方程时已经非常成功,但在处理各向异性问题时数值格式的保正性还存在一些问题.基于Feynman-Kac公式,可以将抛物方程的解表示为一个条件数学期望,涉及的随机扩散过程对应于抛物方程中的扩散项.不同于常用的紧致Markov链近似,本文用有限个连续分支路径逼近原来的随机过程,在满足相容性精度的条件下计算每个分支的停时(stopping time)、停时发生的概率和停时收益,从而可以逼近条件期望.这样基于数学期望的保正性,对任意的线性抛物型方程设计了一个全新的保正性的线性相容的数值格式,这是一个大时间步长、非紧致的、稳定的显式格式.由于有底层系统的理论支撑,本文的算法能够自适应地区分及处理边界的信息,避免现有算法(如半Lagrange方法)在边界附近精度缺失的问题.