Approximation to continuous functions by Walsh-Fourier sums

Пусть ω(δ) - модуль непре рывности,H _ω — класс 1-периодических непре рывных функцийf (t), модуль непрерывнос ти которыхω(f, δ)≦ω(δ), и п устьS _n (f,x)=S _n (f),D _n (t), L_n – соответственно ча стичные суммы ряда Фу рье-Уолшаf(t), ядра Дирихле и конст анты Лебега порядкап (п- 1, 2, ...). Доказаны Теорема 1.Для любой не прерывной функции f $$\mathop {\lim \inf }\limits_{k \to \infty } \frac{{\parallel f - S_k (f)\parallel }}{{\omega (f,1/k)L_k }} = 0$$ Теорема 2.Пусть 0n=nβ]+1 (n=1,2, ...). Пусть, далее, М_n — множество тех k (2ⁿk<2ⁿ⁺¹), для которых Тогда в каждом классе $$\int\limits_0^{2^{ - m_n } } {\left| {D_k (t)} \right|dt \geqq AL_k } $$ найдется функция f, т акая, что $$\mathop {\lim \inf }\limits_{k \in \mathop \cup \limits_n M_n } \frac{{\left\| {f - S_k (f)} \right\|}}{{\omega (1/k)L_k }} \geqq B(A) > 0$$