蝴蝶定理的新故事

这几年,人们对蝴蝶定理谈得可真不少了,谈它的历史,谈它的多种证法,谈它的美妙变化,有兴趣的读者可参看文献[1]～[6]。那么,关于“蝴蝶”,还有什么新鲜东西值得一提吗?如果是一年以前,笔者也觉得无话可说,现在又提笔写它,得感谢杜锡录先生。在今年四月份广州的一次会上,与杜君久别重叙,他问我:“你知道筝形中的蝴蝶定理吗?”老实说,我不知道,杜君告诉了我这个定理,并且提到,他和单墫先生都希望有一个简单方法证明筝形中的蝴蝶定理,如同[1]中用面积方法巧证圆内蝴蝶定理一样。这引出了蝴喋定理的新故事。 (一) 四边形里的蝴蝶定理如果凸四边形ABCD中,AB=BC而且CD=AD,则称它为筝形,因为它确象一只瓦片风筝,图1中画出了筝形ABCD,我们把对角线AC叫做筝形的横架,BD叫做筝形的中线。命题1 (筝形蝴蝶定理)如果ABCD是以BD为中线的筝形,过其对角线交点M作两直线分别与AB、CD交于P、Q.与AD、BC交于R、S.连PR、SQ分别与横架