Ahlfors第二基本定理中等号成立的不可能性 献给杨乐教授80华诞

Ahlfors第二基本定理断言,对于扩充复平面■上任意q(q≥3)个互异点构成的集合E_q,都存在一个最小正常数H_0(E_q),使得任意单连通曲面Σ=(f, ■)都满足(q-2)A(Σ)-4π#(f~(-1)(E_q)∩U)≤H_0(E_q)L(?Σ),其中A(Σ)是Σ的面积, L(?Σ)是Σ的周长,#表示元素的个数.之前的论文已经证明,上述定理中的等号不可能成立.作为Ahlfors第二基本定理的特殊情形,存在一个最小的正常数h_0(E_q),使得每个内部不取E_q的单连通曲面Σ=(f, ■)(即要求f(U)?■\E_q),都满足(q-2)A(Σ)≤h_0(E_q)L(?Σ).本文证明这个不等式中的等号还是不可能成立(Zhang(2013)已经针对一个特殊情形发现此现象),证明过程又给出了一些其他的结果,回答了我们早先论文未解决的两个问题.