200平面向量的数量积(第一课时)

2005年7月,著名数学家丘成桐教授与一批在高考中取得优异成绩的数学尖子座谈,丘教授问学生:“什么是数学?”“你对数学感兴趣吗?”“请你说一说解这个题的简单思路!”座谈的结果,使教授颇为失望,因为我们的学生只是“做考题的机器”.《文汇报》7月8日及《光明网》7月7日)什么是数学?数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的已形成为严谨体系的一门科学.其体系的严谨性的一个方面就表现在:数学的展开,在许多情形下是一种和谐扩展:数的扩展;方程的扩展;函数的扩展;指数概念、距离概念的扩展等等.从数量到向量是扩展,从数的乘法到向量的乘法也是一种扩展.数学的扩展,总是遵循着这样两条规律:一是寻求外在的模型,以找到一个恰切的外在的解释;二是力求内在的和谐,使作为被扩展的本源内容中的主要法则、性质等,扩展后在形式上能仍然成立.通常教“平面向量的数量积”,那个规定一如从天上掉下来的,主要只是要用它来做习题.本设计则特别看重“这个规定是怎么来的?”告诉学生,之所以要引进“平面向量的数量积”,就是因为有这么一个恰切的外在的模型;(并且那个积,在体系之内又是和谐的)平常老师们为什么不去重视这个那么重要的“由来”与“和谐”呢,就是因为这方面的东西历来总是不考的.这从反面告诉了我们的专家,对有利于理解数学的本质的重要内容,即使不是解题一类的,也应该纳入考试的视野.