Espace de Hardy pour les quotients \Gamma \backslash G

Résumé. Soit G un groupe linéaire réel simple hermitien, un sous-groupe arithmétique de covolume fini. Soit C un c?ne régulier Ad(G)-invariant dans l'algèbre de Lie de G, l'intérieur de C, et S(C)=Gexp(iC) le semi-groupe complexe d'Olshanski. L'espace de Hardy associéà ces données est l'espace des fonctions holomorphes sur , -invariantes à gauche telles qu'une certaine norme soit finie. C'est un espace de Hilbert, qui se plonge de manière isométrique dans l'espace . On donne une décomposition de l'espace de Hardy en représentations unitaires irréductibles avec des multiplicités égales à des dimensions d'espaces de formes automorphes. Les résultats les plus importants sont obtenus dans le cas de et , où l'on démontre que l'espace des vecteurs distributions des représentations de la série discrète, qui sont -invariants et qui vérifient une condition de carré intégrabilité, s'identifie à l'espace des formes modulaires paraboliques correspondant, ce qui nous permet de décrire explicitement la décomposition de l'espace de Hardy cuspidal en représentations irréductibles et d'en calculer le noyau reproduisant (appelé noyau de Cauchy-Szeg?) à l'aide des noyaux reproduisants des espaces de cusp forms. L'espace de Hardy cuspidal s'identifie au “morceau holomorphe” du spectre cuspidal .

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Received April 30, 1997; in final form September 18, 1997