A stationary criticality problem in generalL p -space for energy dependent neutron transport in cylindrical geometry

The energy-dependent neutron transport integral equation in a homogeneous cylinder of radiusR and infinite height with isotropic scattering is studied as an abstract equationf=K f in the spaceL ₁((0, 1)×(E _m ,E _M )). By means of techniques based on the theory of positive operators in Banach spaces, we prove that the eigenvalue problem for the integral operatorK admits as a solution a unique a. e. positive eigenfunction to which the leading eigenvalue _o corresponds.After establishing continuity and strictly increasing monotonicity of _o inR we discuss and solve the criticality problem under the assumption of subcriticality for a non-multiplying medium.The formulation of the eigenvalue problem forK is finally extended to anyL _p space, 1p< . Recalling thatK is a Riesz operator inL _p , we prove, as a general result, that the spectrum ofK, acting onL _p , is independent ofp.

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Résumé On étudie un faisceau de neutrons d'une énergieE (comprise entre deux bornesM _e ), dans un cylindre de rayon 0rR de hauteur infinie; on considère la diffraction comme isotrope. L'èquation intègrale du transport de neutrons est formuleeé abstraitement parf=K f, oùK est un opèrateur dans l'espaceL ₁ (r,E) des fonctions intégrables. La théorie des opérateurs positifs dans les espaces de Banach nous permet de démontrer que l'opérateur intégralK possède une fonction propre unique, positive presque partout, correspondant à la valeur propre dominante _o.Après avoir démontré que _o est continue et strictement croissante par rapport àR, on discute et résout le problème critique sous une hypothèse bien motivée physiquement.La formulation du problème aux valeurs propres est généralisée dans un espaceL _p ,p quelconque,K étant un opérateur de Riesz; on obtient comme résultat que le spectre deK dansL _p est indépendant dep.

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Work performed under the auspices of C. N. R. (Gruppo Nazionale per la Fisica-Matematica) and partially supported by M. P. I.

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The research leading to this article was completed while the third author was visiting the University of Florence in the summer of 1983.