Motion equations for a discrete structure fluid

The Maxwell method allows us to carry out a transition to the equations of hydrodynamics at any function of a molecule distribution with respect to velocities. This is the advantage of the above method. However, that the Navier-Stokes equations be obtained, Maxwell had to assume that in a physically small volume, over which the averaging is made, the transport velocities of two impinging molecules are equal. So Maxwell identified a hydrodynamic velocity with a mean velocity of atoms or molecules. — This Maxwell hypothesis may appear to be doubtful in a rarefied gas where the mean free path of molecules is commensurable with the dimensions of a physically small volume and a body in a flow and in eddy flows.In the present paper the equations of hydrodynamics with arbitrary transport velocities of two impinging molecules are derived. The formulae for a stress tensor in this case have the form: i, j=1, 2, 3.From formula (1), in a particular case, it is possible to obtain the equations of hydrodynamics in the form proposed by A. S. Predvoditelev and N. P. Kasterin. — The apparent motions may make a certain contribution to thermal motions of atoms or molecules. Then formulae (1) allow generalization of the state equation of Clapeyron as follows: p=(1–) RT here is the Predvoditelev parameter for non-ideal continuity. With the help of the above formula the Maxwell formula for a slip coefficient was generalized. — Moreover, an attempt was made to develop these ideas conformably to the non-Newtonian fluids. In this case the model of the general Stokes fluid which was for the first time proposed by Truesdell was taken as a basis.

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Zusammenfassung Nach der Maxwell-Methode können wir eine Umformung der hydrodynamischen Gleichungen hinsichtlich der Geschwindigkeiten durchführen für beliebige Funktionen der Molekülverteilung. Das ist der Vorteil dieser Methode. Um aber die Navier-Stokes-Gleichungen zu erhalten, mußte Maxwell annehmen, daß in dem kleinen Teilvolumen, über das gemittelt wird, die Geschwindigkeiten zweier sich stoßender Moleküle gleich sind. So setzte Maxwell eine hydrodynamische Geschwindigkeit gleich einer mittleren Atom-oder Molekülgeschwindigkeit. — Diese Maxwell-Hypothese kann zweifelhaft erscheinen für verdünnte Gase, für welche die mittlere freie Weglänge der Moleküle vergleichbar ist mit den Abmessungen des Teilvolumens und eines Körpers in der Strömung und in Wirbelströmungen. — Hier werden die hydrodynamischen Gleichungen für beliebige Geschwindigkeiten zweier sich stoßender Moleküle hergeleitet. Die Gleichungen für den Spannungstensor haben die Form i,j=1,2,3.Aus den Gln. (1) lassen sich für einen besonderen Fall die hydrodynamischen Beziehungen in der von A. S. Predvoditelev und N. P. Kasterin vorgeschlagenen Form erhalten. - Die sichtbaren Bewegungen können gewisse Zuschläge zu den thermischen Bewegungen der Atome oder Moleküle verlangen. Die Gln. (1) gestatten dann die Verallgemeinerung der Clapeyron-Gleichung nach p=(1–)RT wobei den Predvoditelev-Parameter darstellt für nichtideale Kontinuität. — Mit obiger Gleichung wurde die Maxwell-Beziehung für einen Schlupfkoeffizient verallgemeinert.Darüberhinaus wurde versucht diese Gedanken entsprechend für Nicht-Newtonsche Flüssigkeiten zu entwickeln. Dafür wurde das Modell der Stokesschen Flüssigkeit, das erstmalig von Truesdell vorgeschlagen wurde, herangezogen.

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Nomenclature V hydrodynamic velocity vector - density m mass of a molecule - Q quantitative expression of any quality - ¦¦=Pd Predvoditelev number - Tr Truesdell number - adiabatic index - V_m volume of one mole of a gas - m₀ molecular weight of a gas - R universal gas constant - U_i i-th velocity component of molecular motion - W_il i-th velocity component of the first molecule where W_il=v _i +u_i - W_i2 i-th velocity component of the second molecule when W_i2=V _i + u_i - V _i ^t transport velocity of the first molecule - V _i ^t transport velocity of the second molecule Dedicated to Prof. Dr.-Ing. U. Grigull on his 60th birthday.