用柯西不等式解释样本线性相关系数

新教材第三册(选修 )§1.6线性回归中给出了样本相关系数r=∑ni=1(xi- x) (yi- y)∑ni=1(xi- x) 2 ∑ni=1(yi- y) 2,并指出“| r|≤1,且| r|越接近于1,相关程度越大;| r|越接近于0 ,相关程度越小”.笔者在教学时发现,用柯西不等式能很好地解释这一相关系数,学生非常容易接受,达到事半功倍的效果.引理1　[柯西不等式](∑ni=1aibi) 2 ≤∑ni=1ai2 ∑ni=1bi2 (其中ai,bi∈R,i=1,2 ,…,n) .现记ai=xi- x,bi=yi- y,则r=∑ni=1aibi∑ni=1ai2 ∑ni=1bi2.据柯西不等式,显然有| r|≤1.1)当| r| =1时,(∑ni=1aibi) 2 =∑ni=1ai2 ∑ni=1b…