等差数列的一个充要条件

定理　数列 {an}为等差数列的充要条件为 :对任意整数 k,当 m 1≤ k≤ n - 1时 ,恒有等式 :( n - k) am ( k - m) an =( n - m) ak,其中 m,n∈ N且 n >m≥ 1 .证明　 (必要性 )设数列 {an}为等差数列 ,公差为 d,则　 an =am ( n - m) d,于是对任意正整数 m,n,k有　 ( n - k) am ( k - m) an= ( n - k) am ( k - m) am ( n - m) d]= ( n - m) am ( k - m) d]=( n - m) ak.由于正整数 m,n,k的任意性 ,故当 m 1≤ k≤ n - 1时 ,等式仍然成立 .(充分性 )若对任意正整数 k都有等式( n - k) am ( k - m) an =( n - m) ak,( 1…