空间闭折线与其内点闭折线周长间的一个关系

我们把依次连接折线各边内点所得的折线称之为内点折线．那么，任意一条封闭折线（不一定是平面的），它的内点折线的周长与原折线的周长之间有什么样的关系呢？本文将探讨此问题． 为此，先给出如下引理： 引理 １ △ＡＢＣ中，ＡＢ＋ＡＣ≤ ＢＣ·ｃｓｃＡ／２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号． 证明 在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得ＢＣ～２＝ＡＢ～２＋ ＡＣ～２—２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓ Ａ 引理２ 设Ｐ１＞０，ａ１＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ），则 引理２是加权幂平均不等式Ｍ１（ａ，ｐ）≤Ｍ２（ａ，ｐ），在许多文献（例如文［１］…