对一道微分问题的修正

文1]习题3-1(P81)第3题(是非题)如下:设函数f(x),g(x)在a,b]上连续,在(a,b)内可导,且在a,b]上f′(x)≤g′(x),则有f(b)-f(a)≤g(b)-g(a).与文1]配套的2](P105)给出的解答是:答不对.虽然由拉格朗日定理得f(b)-f(a)b-a=f′(ξ),ξ∈(a,b)(1)g(b)-g(a)b-a=g′(ξ),ξ∈(a,b)(2)且有f′(x)≤g(x).但f′(ξ)不一定小于等于g′(ξ),因为(1)(2)式中的ξ不一定是相同的.我们认为上述解答是错的,也就是说,原命题是成立的.下面给出证明.证明令F(x)=f(x)-g(x),由题意,F(x)在a,b]上连续,在(a,b)内可导,再由拉格朗日定理得F(b)-F(a)b-a=F′(ξ),…