e的无理性的初等证明

１６１４年纳皮尔发明了对数，１６２４年英国的卜瑞格斯真正认识到对数可以大大简化计算并制作对数表，同时出现了以ｅ为底的自然对数，１７３７年欧拉证明了ｅ是一个无理数，１８７３年厄米特证明ｅ是超越数，本文仅用一条与微积分有关的：常识（Ａ）　ｅｘ＝１＋ｘ１！＋ｘ２２！＋ｘ３３！＋…＝∑∞ｋ＝０ｘｋｋ！给出ｅ的无理性的一个极其简单的初等证法；证明　设ｅ＝ｑ／ｐ是一个有理数，则　Ａ＝ｑ！∑ｑｋ＝０（－１）ｋｋ！－１ｅ＝∑ｑｋ＝０（－１）ｋｑ！ｋ！－ｐ（ｑ－１）！是一个非负整数；另一方面，据（Ａ），１ｅ＝ｅ－…