Effect of nonlinear constitutive equation on vibrations of beams

Summary This paper is concerned with the analytical investigation of static and dynamic nonlinear behaviors of beams with different boundary conditions. While geometric type of nonlinearities on beams have been investigated extensively, material type nonlinearities have received very little attention. Therefore, material nonlinearities of the Ramberg-Osgood type are considered in this analysis. The use of Self-Generating functions for nonlinear beam problems is demonstrated for this type of nonlinearity. Transverse shear and rotatory inertia effects have been included in the formulation to study moderately thick beams. For all the cases investigated here nonlinear frequency ratios are calculated at various amplitudes of vibration and geometric parameters of beams. Numerical results indicate that the Ramberg-Osgood type nonlinearity produces softening-type responses. The study is limited to materials which are nonlinearly elastic and the effect of geometric nonlinearity is not considered in this paper.

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Sommario Questo lavoro riguarda lo studio dei comportamenti non lineari statici e dinamici di travi con diverse condizioni a contorno. Mentre le non linearità di tipo geometrico sono state studiate estesamente, quelle di tipo non lineare hanno ricevuto un'attenzione molto ridotta. Perciò in questa ultima analisi si considerano non linearità materiali del tipo di Ramberg-Osgood. Si dimostra uso delle funzioni autogeneratrici nei problemi non lineari per le travi con questo tipo di non linearità. Nella formulazione dello studio di travi moderatamente spesse si sono inclusi effetti di taglio e inerzia rotatoria. Per tutti i casi qui studiati si calcolano i rapporti di frequenza non lineare per varie ampiezze di vibrazione e parametri geometrici delle travi. I risultati numerici indicano che la non linearità del tipo di Ramberg-Osgood produce risposte del tipo ammorbidimento. Lo studio si limita a materiali con nonlinearità elastica e non si considera nel lavoro l'effetto della non linearitá geometrica.

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List of symbols T_s Transverse shear - k₁ Shear connection factor - A, B, m Material constants - I Moment of inertia - G Shear modulus - Mass per unit length - w Lateral displacement - h Beam thickness - b Bredth of beam - t Time - R_i Rotatory inertia - a Area of cross-section of beam - q(x) Lateral load on beam - _x Stress - _x Strain - Length of beam - x Beam coordinate - - r Radius of gyration - w Nondimensional maximum deflectionw_max/r - q₀^* Nondimensional load, (q₀ ³/Al - Thickness parameter,h/ - (T_sK₁/Ga) - ₀ Linear frequency - Nonlinear frequency - w_max w measured at the point of maximum deflection.