Criteri jacobiani di regolarità ed eccellenza per anelli di serie ristrette

Riassunto Nel presente lavoro studiamo il problema seguente: seA è un anellom-adico eccellente, è pure eccellente l’anello (A, m) {X ₁,…,X _n } delle serie ristrette? I risultati che presentiamo sono relativi ad anelli baseA di char. 0, ma con quozienti di char.p>0; essi sono basati su tecniche che sfruttano fortemente i criteri jacobiani di regolarità. Perciò ci riferiamo sempre ad anelli base ?di tipo analitico? (nel senso di 5], def. 1.1), cioè ad anelli muniti di un numero sufficiente di derivazioni, tale da garantire la validità di criteri jacobiani. Proviamo che, seA è locale regolare di tipo analitico eA/pA è finito come modulo su (A/pA) ^p , allora (A, m) {X ₁,…,X _n } è eccellente; evitando così, rispetto a 10] (teorema 10), ogni condizione restrittiva sui corpi residui. Estendiamo inoltre in modo naturale la definizione di anello di tipo analitico al caso non locale e troviamo condizioni necessarie e sufficienti per la permanenza dell’analiticità nel passaggio alle serie ristrette. Proviamo infine che gli anelli analitici sono eccellenti se lo sono modulop.

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Summary In the present paper we investigate the following problem: ifA is anm-adic excellent ring, is the restricted power series ring(A, m){X ₁,…,X _n } also excellent? Here we are able to produce some results when the basic ringsA are of char. 0, but with quotients of char.p>0. We need to use techniques which exploit strongly the jacobian criteria of regularity; hence we limit ourselves to the class of the basic rings ?of analytic type? (in the sense of 5], def. 1.1), i.e. rings with enough derivations to make jacobian criteria true. We prove that, ifA is a regular local ring of analytic type andA/pA is a finite module over (A/pA)^p, then (A, m){X ₁,…,X _n } is excellent. With regard to 10], theorem 10, we can avoid every restrictive condition over the residue fields. Moreover we extend in a natural way the definition of a ring of analytic type in the case of a regular domain of char. 0 not necessarily local and we find necessary and sufficient conditions for the permanence of the analytic property in the passage to the restricted power series. At last we prove that the analytic rings are excellent if they are so modulop.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei Gruppi di Ricerca Matematica del CNR (GNSAGA).