利用构造法证明整除性问题

在数学解题过程中,直接举出满足条件的数学对象(或反倒),导致结论的肯定(或否定),或者利用具体问题的特殊性,设计一个框架,通过问题的转化来解决,这种解题方法称为构造法,构造法是一种重要的数学思想方法,应用构造法证明某些整除性问题,常可收到事半功倍的效果。常用的构造法有如下几种: 1 构造函数例1 证明7|sum from k=1 to 1986(2~k)(《数学通报》1986年6月号问题征解第416题) 证明构造函数 f(χ)=2(χ+1)~(662)-2, 显然,f(χ)是χ的整系数多项式。∵f(0)=0, ∴χ|f(χ),故7|f(7)。而f(7)=2·8~(662)-2=2(2~(1986)-1)=sum from k=1 to 1986 (2~k)得证。