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| 综合题新编选登 | |
| 作者姓名： | 夏远道 彭树德 |
| 作者单位： | 河南省商城高中，湖北省潜江中学433100 465350 |
| 摘 要： | 题 37 数列 {ａｎ}是正项等差数列 ,对任意ｋ∈Ｎ ,试证明 :(Ⅰ )ｌｏｇ0 .2 ａｋ+1≤ 12 (ｌｏｇ0 .2 ａｋ+ｌｏｇ0 .2 ａｋ +2 ) ,(Ⅱ ) ａｋ+12ａｋ1≥ (ｋ + 1)ａ2 -ｋａ1.证 (Ⅰ )所证不等式等价于ａ2 ｋ +1≥ａｋ +2 ａｋ.设数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,则ａ2 ｋ +1-ａｋ+2 ａｋ=(ａ1+ｋｄ) 2 - [ａ1+ (ｋ + 1)ｄ][ａ1+ (ｋ - 1)ｄ]=ｄ2 ≥ 0 .当且仅当ｄ =0 ,即ａｋ=ａｋ+1时等号成立 ,∴ｌｏｇ0 .2 ａｋ+1≤ 12 (ｌｏｇ0 .2 ａｋ+ｌｏｇ0 .2 ａｋ+2 ) .(Ⅱ )由 (Ⅰ )得 ａｋ+2ａｋ+1≤ ａｋ+1ａｋ,∴ ａｋ+2ａｋ+1≤ ａ2ａ1,ａｋ+1… |
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