An existence theorem for invariant manifolds

For systems of the form =Ax +F₁(x, y, z), =By +F₂(x, y,z), =Cz +F₃(x, y, z) possessingP = {(0,0,z)} as invariant manifold we present sufficient conditions for the extension ofP to an invariant manifold of the form (x, s (x, z), z). Hereby we assume that the spectrum _A ofA is located to the left and the spectrum _b ofB to the right of a vertical straight linel in . In the case where the spectrum _C ofC lies to the left ofl too such an extension ofP is rather simple. We consider the situation where _{A C} cannot be separated from _B by a vertical line in .

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Zusammenfassung Für Systeme der Form =Ax +F₁(x, y, z), =By +F₂(x, y,z), =Cz +F₃(x, y, z) mitP = {(0,0,z)} als invarianter Mannigfaltigkeit geben wir Bedingungen an, unter welchen sichP zu einer invarianten Mannigfaltigkeit der Form (x, s (x, z), z) fortsetzen läßt. Wir gehen stets davon aus, daß das Spektrum _A vonA links und das Spektrum _B vonB rechts einer vertikalen Geradenl in liegen. Eine derartige Fortsetzung vonP ist einfach, falls das Spektrum _C vonC ebenfalls links vonl liegt. Wir untersuchen den Fall, in welchem _{A C} sich nicht durch eine vertikale Gerade von _B trennen läßt.

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Dedicated to H. W. Knobloch on the occasion of his sixtieth birthday

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