Real points in the fibres of dominant maps defined overR

Letf: X → Y be a dominant map between real algebraic varieties of the same dimension. The object of this paper is the study of the map which sends every pointy ∈ Y to the number of real points inf ⁻¹ (y). We give a sufficient condition ony to ensure that the above map is locally constant iny. Moreover, we consider the subset ofY where this map is no more locally constant and we give the principal properties of this set.

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Sunto Siaf: X → Y un morfismo dominante tra varietà algebriche reali della stessa dimensione. In questo articolo si studia la mappa che associa ad ogni puntoy ∈ Y il numero di punti reali inf ⁻¹ (y); in particolare si dà una condizione sufficiente suy affinchè tale mappa sia costante in un suo intorno. Inoltre, si considera il sottoinsieme diY in cui tale mappa non è più localmente costante e si danno le principali proprietà di tale insieme.

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The work was written while both the authors were members of the G.N.S.A.G.A. of the Consiglio Nazionale delle Ricerche.