Correlation factor for ground state of helium

If a variational trial function of form exp(–ar₁–ar₂)f(r₁₂) is postulated for the ground-state of helium-like ions, then for a given a it is shown that the variation principle leads to an ordinary second order differential equation for f, the solution of which represents the optimum function f for use with a trial function of this type, in the sense that this solution minimises the expectation value of the Hamiltonian for the system. A solution to the differential equation may be found by the usual series expansion method.

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Zusammenfassung Wenn ein Variationsansatz der Form exp(–ar₁–ar₂f(r₁₂) für den Grundzustand von Heartigen Ionen vorausgesetzt wird, so wird gezeigt, daß (bei gegebenem a) das Variationsprinzip zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung für f führt. Ihre Lösung stellt eine optimale, den Erwartungswert des Hamiltonoperators des Systems minimisierende Funktion des angegebenen Typs dar. Eine Lösung der Differentialgleichung kann mit der gewöhnlichen Methode eines Reihenentwicklungs-Ansatzes gefunden werden.

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Résumé Si l'on prend comme fonction variationnelle d'essai pour l'état fondamental des ions de type hélium: exp(–ar₁–ar₂)f(r₁₂) le principe variationnel mène pour a constant à une équation différentielle du second ordre pour f. La solution de cette équation représente la «meilleure» fonction f à utiliser avec une fonction d'essai de ce type, car elle minimise la valeur moyenne de l'hamiltonien. Cette solution peut être obtenue par la méthode ordinaire de développement en série.