The Kepler problem spinor regularization and quantization on the manifolds S2

Summary In a previous research we have shown that the KS-transformation, developed by Kustaanheimo and Stiefel for the regularization of the Kepler problem, may be interpreted as the correspondence which associates to each null 4-vector of the space of Minkowski a one-index spinor, defined up to a phase factor, and we have obtained a new form of the KS-transformation. In the present research we show that this formulation allows a straight derivation of the Hopf fibering of the sphere S³ (characterized by unit spinors) having the base space given by the section (sphere S²) of the light cone, and we show that the KS-transformation allows the quantization of the symplectic manifold S² in the sense of Souriau. The sphere S³ turns out to be a contact quantized manifold. The bilinear relation characteristic of the KS-theory and the column vectors of the KS-matrix are intimately related to the contact structure.

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Sommario In un precedente lavoro si è mostrato che la trasformazione KS, introdotta da Kustaanheimo e Stiefel per regolarizzare il problema di Keplero, è riconducibile alla ben nota corrispondenza fra vettori del cono isotropo dello spazio di Minkowski e spinori semplici, definiti a meno della fase, e si è pervenuti ad una nuova formulazione della KS. Nel presente lavoro si mostra come da tale formulazione scaturisca in modo naturale la fibrazione di Hopf della sfera S³ (caratterizzata dagli spinori unitari) avente quale base una sezione (sfera S²) del cono isotropo e si mette in luce come la trasformazione KS consenta di effettuare la quantizzazione della varietà simplettica S² nel senso di Souriau e di ottenere la sfera S³ quale varietà quantica di contatto. La relazione bilineare caratteristica della teoria KS ed i vettori colonna della matrice KS risultano intimamente legati alla struttura di contatto.

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Presented at the VI Congresso Nazionale dell'Associazione Italiana di Meccanica Teorica ed Applicata (AIMETA), Genova, October 1982. Work performed under the auspices of G.N.F.M. of the C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche).