Global in time solutions for the Poiseuille flow of Oldroyd type in 3D domains

A Poiseuille flow in a 3D cylindrical domain is considered for a non-newtonian fluid of Oldroyd type. We prove existence (and uniqueness) of a global (in time) weak solution. Moreover, this weak solution is a strong solution when data are more regular. These results have already been obtained in the case of two concentrical cylinders (3]). Now, we consider an extension to an unique cylinder. Then, a mixed parabolic-hyperbolic PDE's system appears but the parabolic equation is of degenerate type. The key of the proofs is to estimate in appropriate Sobolev weighted spaces (and to obtain strong convergence in weak norms by means of a Cauchy argument).

---

Sunto In questo lavoro viene considerato il moto di Poiseuille in un dominio cilindrico tridimensionale per un fluido non-Newtoniano tipo Oldroyd. Viene dimostrata l'esistenza e l'unicità di una soluzione debole, globale nel tempo. Inoltre, questa soluzione debole diviene forte quando i dati diventano più regolari. Questi risultati sono già noti nel caso del dominio tra due cilindri concentrici (3]). Qui consideriamo l'estensione ad un unico cilindro. Si ottiene, in questo caso, un sistema di equazioni alle derivate parziali misto parabolico-iperbolico, dove l'equazione parabolica è però di tipo degenere. Il punto chiave delle dimostrazioni consiste nel fornire delle stime in un appropriato spazio di Sobolev pesato ed ottenere convergenza forte nelle norme deboli mediante un argomento alla Cauchy.