摘 要: | 习题 已知 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,求证 :a2 + b2 >3 a3 + b3 .证明 原命题等价于( a2 + b2 ) 3 >( a3 + b3 ) 2 ,展开很易证明 .推广 已知 a,b,m,n∈ R+ ,且 a≠ b,m >n,求证 :n an + bn >m am + bm .证明 构造函数 y =f( x) =x ax + bx( a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ) ,两边取对数得 lny =ln( ax + bx)x ,两边取导数 ,得y′y =x( axlna + bxlnb) - ( ax + bx) ln( ax + bx)x2 ( ax + bx) .∵ a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ,∴ ( ax) ax . ( bx ) bx <( ax + bx ) ax+ bx,∴ x( axlna + bxlnb) <( ax + bx) ln( ax + bx) ,∴ y′…
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