一道数学竞赛题的几种解法及推广应用

1999年陕西省大学生高等数学竞赛试题中有如下一道试题：计算的值,其中n为正整数．下面我们先给出其几种解法：解法一利用和差化积公式,由于解法二利用数学归纳法,当n＝1时,显然有当n＝2时因此我们可猜测：下面我们用数学归纳法证明,假设当n＝k时有则当n＝k十1时,解法三利用欧拉公式,以下同解法～．解法四利用换元积分法,令x一计2十户,则而由欧拉公式,。。。。。,’。,、t、,。、,,、,、,。nISllZnx,与本题相类似,我们还可以证明爿——dX一O．。＿．＿。广slnnx．门,n为偶数;综上可知：D——dX二nJbSIn1卜,1为奇…