原函数需分段定义的定积分

问题是这样提出来的 .例 1　∫202 - 2ｘ ｘ2(1 -ｘ) 2 ｘ2 (2 -ｘ) 2 ｄｘ=∫2011 [ｘ(2 -ｘ) /(1 -ｘ) ]2 ｄ ｘ(2 -ｘ)1 -ｘ=ａｒｃｔｇ ｘ(2 -ｘ)1 -ｘ20 =0 ,但 ,被积函数在 [0 ,2 ]上连续且恒正 ,故其在 [0 ,2 ]上的定积分大于 0 .错误的原因在于ｘ =1为ａｒｃｔｇ[ｘ(2 -ｘ) /(1 -ｘ) ]的第一类间断点 .考虑到ｌｉｍｘ→ 1-0 ａｒｃｔｇ(ｘ(2 -ｘ) /(1 -ｘ) ) =π/2 ,ｌｉｍｘ→ 1 0 ａｒｃｔｇ(ｘ(2 -ｘ) /(1 -ｘ) ) =-π/2得 [0 ,2 ]上连续的原函数为Ｆ (ｘ) =ａｒｃｔｇ(ｘ(2 -ｘ) /(1 -ｘ) )　 0 ≤ｘ <1π/2ｘ =1ａｒｃｔｇ(…