正规族与复合亚纯函数

本文研究了亚纯函数族涉及复合有理函数与分担亚纯函数的正规性. 证明了一个正规定则:设 α(z) 和 F 分别是区域 D 上的亚纯函数与亚纯函数族, R(z) 是一个次数不低于 3 的有理函数.如果对族 F 中函数 f(z) 和 g(z), R○f(z) 和 R○g(z) 分担 α(z) IM,并且下述 条件之一成立:
(1) 对任何 z₀ ∈ D, R(z)-α(z₀) 有至少三个不同的零点或极点;
(2) 存在 z₀ ∈ D 使得 R(z)-α(z₀):=(z-β₀)^pH(z) 至多有两个零点(或极点) β₀,同时 k ≠ l|p|,其中 l 和 k 分别是 f(z)-β₀ 和 α(z)-α(z₀) 在 z₀ 处的零点重数, H(z) 是满足 H(β₀) ≠ 0, ∞ 的有理函数, α(z) 非常数并满足 α(z₀) ∈ C ∪{∞}.
那么 F 在 D 内正规.特别地,这个结果是著名的 Montel 正规定则的一种推广.

Normal families and composite meromorphic functions

In the paper, we study the normality of families of meromorphic functions. We prove the result： Let a（z） be a meromorphic function, Y a family of meromorphic functions in a domain D, and R（z） be a rational function of degree at least 3. If R o f（z） and R o g（z） share a（z） IM for each pair f（z）,g（z） ∈ F and one of the following conditions holds： （1） R（z） - a（z0） has at least three distinct zeros or poles for any z0 E D; （2） There exists z0 E D such that R（z） - a（zo） ：= （z -β0）PH（z） has at most two distinct zeros （or poles） /30 and suppose that the multiplicities l and k of zeros of f（z） - a and a（z） - a（z0） at z0, respectively, satisfy k≠1｜p｜, where H（z） is a rational function and H（β0）≠ 0, ∞ and a（z0） ∈ CU{∞} and a（z） is nonconstant. Then F- is normal in D. In particular, the result is a kind of generalization of the famous Montel＇s criterion.